Question

已知向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），

m

•

n

=sin2C，其中A、B、C為△ABC的內角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差數列，且

CA

• (

AB

-

AC

)  =18，求AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據數量積和兩角和的正弦公式，二倍角公式可求C的值．
（Ⅱ）根據等差數列和數量積，列出三個邊長的關系，借助余弦定理求得AB的值．

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)（2分）
對于△ABC中A+B=π-C，0＜C＜π
∴sin（A+B）=sinC，
∴

m

•

n

=sinC（4分）
又∵

m

•

n

=sin2C，∴sinC=sin2C  ，cosC=

1

2

，C=

π

3

（7分）
（Ⅱ）由    sinA，sinC，sinB成等差數列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得 2c=a+b（9分）
∵

CA

• (

AB

-

AC

)  =18，∴

CA

•

CB

=18，
即  abcosC=18，ab=16（12分）
由余弦弦定理 c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，，c=6（14分）

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，正弦定理、余弦定理，兩角和與差的三角函數，等差數列，是難題．