Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，為直角，，，分別為的中點．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與證明，往往從兩個方面進行，一是從平幾知識，如矩形得ABBF，二是從立幾知識，如從面面垂直出發，得線面垂直，再得線線垂直（Ⅱ）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據題意確定空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出面的法向量，再根據空間向量數量積求向量夾角，最后根據向量夾角與二面角之間關系求二面角

試題解析：（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAB為直角，故ABFD是矩形，

從而ABBF．

又PA底面ABCD, ∴平面PAD平面ABCD，

∵ABAD，故AB平面PAD,∴ABPD，

在ΔPCD內，E、F分別是PC、CD的中點，EF//PD， ∴ ABEF．

由此得平面．

（Ⅱ）以A為原點，以AB，AD，AP為x軸,y軸,z軸正向建立空間直角坐標系，

則

設平面的法向量為，平面的法向量為，

則 可取

設二面角EBDC的大小為，則

=，

所以，