Question

【題目】在底面是菱形的四棱錐中，.

（1）證明：平面；

（2）點(diǎn)在棱上.

①如圖1，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，證明：平面；

②如圖2，若，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②存在，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到是等邊三角形，根據(jù)勾股定理得到，，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面.

（2）①根據(jù)三角形中位線即可得到，再根據(jù)線面平行的判定即可證明平面.②存在是中點(diǎn)，使得平面，取中點(diǎn)，連結(jié).根據(jù)三角形中位線即可得到面，面，即平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面.

（1）在菱形中，，

∴是等邊三角形.

又，故菱形邊長(zhǎng)為，

在中，，則

同理.

又面，，

∴平面.

（2）①連結(jié)交于，連接.

在菱形中為中點(diǎn)又是線段的中點(diǎn)，

所以.

∵面，面，

∴面.

②存在，是中點(diǎn).

取中點(diǎn)，連結(jié).

在中，為中點(diǎn)，則，

又∵面，面，∴面.

同理面.

又∵面，，

所以平面平面，

又面∴平面.