Question

已知一個幾何體的三視圖如圖所示．
（1）求此幾何體的表面積；
（2）如果點P，Q在正視圖中所示位置：P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長．

Answer 1

分析：（1）由三視圖知：此幾何體是一個圓錐和一個圓柱的組合體，底面圓半徑長a，圓柱高為2a，圓錐高為a．
（2）將圓柱側面展開，在平面矩形內線段PQ長為所求．

解答：解：（1）由三視圖知：此幾何體是一個圓錐加一個圓柱，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和．底面圓半徑長a，圓柱高為2a，圓錐高為a．-------（2分）
S圓錐側=

1

2

(2πa)•(

2

a)=

2

πa2，-------（3分）
S圓柱側=(2πa)•(2a)=4πa2，------（4分）
S圓柱底=πa2，-------（5分）
所以S表面=

2

πa2+4πa2+πa2=(

2

+5)πa2．------（7分）
（2）沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如上圖．-------（9分）
則，PQ=

AP2+AQ2

=

a2+(πa)2

=a

1+π2

------（12分）
所以從P點到Q點在側面上的最短路徑的長為a

1+π2

．------（14分）

點評：本題考查由三視圖求面積，解題的關鍵是由三視圖還原出實物圖的幾何特征及其度量，再由公式求出表面積，還考查曲面距離最值問題，采用化曲面為平面的辦法．須具有空間想象能力、轉化、計算能力．