Question

如圖，A，B為相距2km的兩個工廠，以AB的中點O為圓心，半徑為2km畫圓�。甅N為圓弧上兩點，且MA⊥AB，NB⊥AB，在圓弧MN上一點P處建一座學校．學校P受工廠A的噪音影響度與AP的平方成反比，比例系數為1，學校P受工廠B的噪音影響度與BP的平方成反比，比例系數為4．學校P受兩工廠的噪音影響度之和為y，且設AP=xkm．
（1）求y=f（x），并求其定義域；
（2）當AP為多少時，總噪音影響度最小？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）連接OP，設∠AOP=α，在△AOP中，由余弦定理得x²，在△BOP中，由余弦定理得BP²，從而得BP與x的關系，所以，“總噪音影響度”y=

1

AP2

+

4

BP2

=

1

x2

+

4

10-x2

；定義域由∠α的取值得出x的取值范圍即可．
（Ⅱ）用換元法，令t=x²，則y=

1

t

+

4

10-t

（3≤t≤7），對y求導，令y'=0，得t=

10

3

時，函數有最小值，
即AP=

30

3

（km）時，“總噪音影響度”最小即可．

解答： 解：（Ⅰ）連接OP，設∠AOP=α，則

π

3

≤α≤

2π

3

，…．（1分）
在△AOP中，由余弦定理得x²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²=1¹+2²-2×1×cos（π-α）=5+4cosα，…（4分）
∴BP²=10-x²，則y=

1

AP2

+

4

BP2

=

1

x2

+

4

10-x2

，…．（6分）
∵

π

3

≤α≤

2π

3

，則-

1

2

≤cosα≤

1

2，∴3≤5-4cosα≤7，∴

3

≤x≤

7

，
∴y=

1

x2

+

4

10-x2

，

3

≤x≤

7

．…（8分）
（Ⅱ）令t=x²，y=

1

t

+

4

10-t

（3≤t≤7），
∴y′=

-1

t2

+

4

(10-t)2

=

(t+10)(3t-10)

t2(10-t)2

，…..（10分）
由y′=0，得t=

10

3

或t=-10（舍去），…..（12分）
當3＜t＜

10

3

，y′＜0，函數在（3，

10

3

）上單調遞減；
當

10

3

＜t＜7，y′＞0，函數在（

10

3

，7）上單調遞增；…
∴當t=

10

3

時，即x=

30

3

時，函數有最小值，也即當AP為

30

3

（km）時，
“總噪音影響度”最�。�…（14分）

點評：本題考查了余弦定理的應用和導數在求函數最值問題中的應用；用求導法求函數最值時，要先求導，再令導數等于0，并判斷導數等于0的點是否為最值點．