Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有3個(gè)極值點(diǎn)，，（其中），證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得，易得是的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，取決于的根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為，用導(dǎo)數(shù)法討論即可.

（2）根據(jù)有3個(gè)極值點(diǎn)，，（其中），則有，且，要證，即證，由，得到，設(shè)，，，聯(lián)立得到，即證，，再轉(zhuǎn)化為證明即可.

（1），易得是的一個(gè)極值點(diǎn)，令，轉(zhuǎn)化為，

令，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有3個(gè)極值點(diǎn).

（2）證明：因?yàn)?/span>有3個(gè)極值點(diǎn)，，（其中），所以，且，即得，

要證，即，

由，得，

設(shè)，，，所以，

聯(lián)立得所以，

所以要證，只需，，

則有，即，則需證明.

令，，即需證明.

因?yàn)?/span>恒成立，

所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則有，

即成立，所以，

即.