Question

【題目】已知曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線與曲線的公共點的極坐標；

（2）若點的極坐標為，設曲線與軸相交于點，則在曲線上是否存在點，使得，若存在，求出點的直角坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，點

【解析】

（1）先求出曲線和的直角坐標方程，聯立方程求得兩曲線的公共點的直角坐標，再轉化為極坐標；

（2）求出點和點的直角坐標，假設存在點滿足條件，設點，求得，，由題意得，結合數量積的坐標表示即可求出答案．

解：（1）由題知，曲線消去參數得到曲線的直角坐標方程為，

曲線消去參數得到曲線的直角坐標方程為，

聯立與的直角坐標方程解得或，

故兩曲線的公共點的直角坐標為和，

∴曲線與曲線的公共點的極坐標為，；

（2）點的直角坐標為，點的直角坐標為，

假設存在點滿足條件，不妨設點，

則，，

因為，所以，即，且，

得，

化簡得，又，

得，，

所以點，

即在曲線上存在點，使得．