Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若動直線與橢圓有且僅有一個公共點，分別過兩點作，垂足分別為，且記為點到直線的距離, 為點到直線的距離，為點到點的距離，試探索是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在最大值，其最大值為.

【解析】

（1）由題意得，，得a＝2，c＝1，即可求出橢圓方程．

（2）將直線l：y＝kx+m代入曲線C的方程3x2+4y2＝12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式，結合已知條件能求出（d1+d2）d3存在最大值，并能求出最大值．

（1）由題意可得，解得橢圓的方程為.

（2）將直線代入橢圓的方程中，得.

由直線與橢圓有且僅有一個公共點知，.

整理得，且，.

當時，設直線的傾斜角為，則，即.

，當時，，

，

當時，四邊形為矩形，此時.

綜上可知，存在最大值，其最大值為.