Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經過定點的直線交橢圓于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為，試證明：直線與軸的交點為一個定點，且（為原點）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據題意得出關于、、的方程組，解出、的值，進而可求得橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，設點、，可得點，設點，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由、、三點共線可得出

（1）由題意得，解得，．

所以橢圓的方程為；

（2）由題意知直線的斜率一定存在，設為，

設、，則，設，

聯立消去得：，

由得，即時，，一定存在，

，.

當斜率不為時：因為、、三點共線，，

，即，

即

化簡，

代入韋達定理化簡得，即，，

，且，

當斜率時，直線與軸重合，滿足結論．

綜上，直線與軸的交點為一個定點，且