Question

【題目】已知函數f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx﹣ （ω＞0），直線x=x1 ， x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x1﹣x2|的最小值為 ．
（1）求f（x）的表達式；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0，在區間 上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，由題意知，最小正周期 ，又 ，所以ω=2，

∴ ．）

（2）解：將f（x）的圖象向右平移個 個單位后，得到 y= = 的圖象，

再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到 的圖象， ．

令 ，∵ ，∴ ，g（x）+k=0，在區間 上有且只有一個實數解，

即函數y=g（x）與y=﹣k在區間 上有且只有一個交點，由正弦函數的圖象可知 或﹣k=1

∴ ，或k=﹣1

【解析】（1）利用三角函數的恒等變換把函數f（x）的解析式化為 ，根據周期求出ω=2，從而得到 ．（2）將f（x）的圖象向右平移個 個單位后，得到 y= = 的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍得到 的圖象，可得 ，函數y=g（x）與y=﹣k在區間 上有且只有一個交點，由正弦函數的圖象可得實數k的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．