Question

【題目】已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為 ，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；l1 ， l2是過點P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A，B兩點，l2交E交C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求l1的斜率k的取值范圍；
（3）求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為 ，

由

∴橢圓方程為 ；

（2）解：由題意知，直線l1的斜率存在且不為零

∵ ，∴ ．

由 消去y并化簡整理，

得（3+4k2）x2+16kx+4=0

根據題意，△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得 ．

同理得 ，

∴ ；

（3）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

那么 ，∴ ，∴

同理得 ，即

∴

∵ ，∴

∴

即 的取值范圍是

【解析】（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c關系，進而根據a求得b，則橢圓的方程可得．（2）由題意知，直線l1的斜率存在且不為零設直線l1和l2的方程，分別于橢圓方程聯立消去y，根據判別式求得k的范圍，最后綜合可得答案．（3）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），根據韋達定理求得x0和y0的表達式，進而表示M和N的坐標，最后表示出 根據k的范圍確定答案．