Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)O，左右焦點(diǎn)分別為，的橢圓的離心率為，焦距為，A，B是橢圓上兩點(diǎn).

（1）若直線與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，且，求此圓的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)P滿足：，直線與的斜率的乘積為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，焦距為，建立方程組，求出幾何量，可得橢圓的方程，分類討論，設(shè)直線為：，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得，根據(jù)直線與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，即可求此圓的方程；

（2）利用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，由直線與的斜率的乘積為，可得，即，結(jié)合A，B在橢圓上，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

（1）設(shè)橢圓方程為（），由，解得.

∴橢圓方程為.

①設(shè)直線為：，，，

代入橢圓方程得：.

，，，，

即

，即.

∵直線與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，∴圓的半徑，則.

∴圓的方程為；

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足上述方程.

綜上，所求圓的方程為：.

（2）設(shè)，又，，由：，得，

又直線與的斜率的乘積為，，即.

∵A，B在橢圓上，，.

聯(lián)立，消去，，，，得.

當(dāng)斜率不存在時(shí)，即，得，，.

此時(shí).同理斜率不存在時(shí)，.

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）