Question

【題目】已知實數a、b滿足a2+b2-ab＝3．

（1）求a-b的取值范圍；

（2）若ab＞0，求證：．

Answer 1

【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．

①當ab≥0時，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；

②當ab＜0時，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，

得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；

（2）由（1）知0＜ab≤3，可得，

利用配方法即可容易證明.

（1）因為a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．

①當ab≥0時，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；

②當ab＜0時，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，

所以﹣1≤ab≤3，則0≤3﹣ab≤4，

而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，

所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；

（2）由（1）知0＜ab≤3，

因為

當且僅當ab＝2時取等號，

所以．