Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，與都是等邊三角形，且點在底面上的射影為.

（1）證明：為的中點；

（2）求異面直線與所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接AC，取AC的中點N，連接MN，DN，利用線面垂直的判定證明點M在底面上的射影為N，結合點M在底而ABCD上的射影為O，可得N與O重合，即O為AC的中點；
（2）設，，求解三角形可得.再由DA＝DC，O是AC的中點，得，得到，故異面直線MD與BC所成角為.在中求解，可得異面直線與所成的角.

（1）證明：接，取的中點，連接、，

∵與都是等邊三角形且公共邊為，

∴，

又∵是的中點，

∴，

在中，，

∴，

∴，

又∵，

∴平面，故點在底面上的射影為，

又已知點在底面上的射影為，

∴與重合即為的中點；

（2）設，，

∵，

為等腰直角三角形，

則，，

，

則，

∴，

故，

又∵，是的中點，

∴，

∴，

故異面直線與所成的角為，

在中，，

∴，

即異面直線與所成的角為.