Question

【題目】如圖，在棱柱中，底面為平行四邊形， ，，且在底面上的投影恰為的中點.

（1）過作與垂直的平面，交棱于點，試確定點的位置，并說明理由；

（2）若點滿足，試求的值，使二面角為.

Answer 1

【答案】（1）點為棱的中點，理由見解析（2）

【解析】

（1）根據題意，取中點為，只需即可，結合已知，即可容易說明；

（2）以為原點，建立空間直角坐標系，用向量法求解二面角大小，從而求得的方程，解方程即可求得結果.

（1）當點為棱的中點時，符合題目要求，

下面給出證明.

分別連結，.

在中，

所以，因此，即，

因為在底面上的投影恰為的中點，

所以平面，

又平面，所以，

又，，平面，

所以平面，

因此，點即為所求，平面即為

（2）證明：由題（1）知可得，，，

所以

分別以為軸的正方向，以過點垂直于平面的方向為軸，

建立空間直角坐標系， ，，，

，，，，

所以

易得平面的一個法向量為

，

設為平面的一個法向量，則：

，即得，

令，得，

因為二面角為，

所以，即，

所以，

又因為二面角的大小為鈍角，故