Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且有sin2C+

3

cos（A+B）=0．
（1）a=4，c=

13

，求△ABC的面積；
（2）若A=

π

3

，cosB＞cosC，求

AB

•

BC

-2

BC

•

CA

-3

CA

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）由內角和定理得A+B=π-C，代入所給的式子由誘導公式和倍角的正弦公式化簡，由邊的關系進行取舍求出角C，再由余弦定理求出b，分情況代入面積公式求值即可；
（2）根據條件判斷C和B大小關系，由（1）求出C，再由條件和內角和定理求出B，由角的關系推出邊的關系，由數量積運算公式代入

AB

•

BC

-2

BC

•

CA

-3

CA

•

AB

，進行求值．

解答：（1）解：由A+B+C=π得，A+B=π-C，代入sin2C+

3

cos（A+B）=0得，
2sinCcosC-

3

cosC=0，∴cosC=0或sinC=

3

2

，
由a=4，c=

13

得，c＜a，∴sinC=

3

2

，且C=

π

3

，
由余弦定理c²=a²+b²-2ab•cosc，
得b²-4b+3=0，解得b=1或b=3，
當b=3時，S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×4×3×

3

2

=3

3

，
當b=1時，S=

1

2

ab•sinC=

3

，
（2）由cosB＞cosC，得C＞B，
∵A=

π

3

，∴由（1）得，cosC=0，則C=

π

2

，B=

π

6

，
在RT△ABC中，由tanB=

b

a

=

3

3

，得a=

3

b，
∴

AB

•

BC

-2

BC

•

CA

-3

CA

•

AB

=

AB

•

BC

-3

CA

•

AB

=ac•cos

5π

6

-3bc•cos

2π

3

=-

3

2

ac+

3

2

bc=0．

點評：本題考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用，以及數量積的運算等綜合應用，注意兩個向量的夾角和內角范圍與三角函數值的關系，這是易錯地方．