Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若數列 ，
求數列的通項公式；
（Ⅲ）若數列滿足，是數列的前項和，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）=1；（2） （3）.

解析試題分析：（1）由f（x）+f（1-x）= =1，能得到f（）+f（ ）=1．由此規律求值即可
（2）由a_n=f（0）+f()+f()+…+f()+f（1）（n∈N^*），知a_n=f(1)+f()+f()+…+f（）+f（0）（n∈N^*），由倒序相加法能得到a_n
（3）由b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，知b_n=(n+1)•2ⁿ，由S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立，由此能夠證明當k＞4時，不等式knS_n＞b_n對于一切的n∈N^*恒成立．
解：（1）=+=+=1
（2）∵    ①
∴ ②
由（Ⅰ），知=1
∴①+②，得 
（3）∵，∴ 
∴，      ①
， ②
①－②得 
即  要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，
法一：對一切的恒成立，
令，
∵在是單調遞增的, ∴的最小值為
∴＝,  ∴.
法二：.  設
當時，由于對稱軸直線，且 ，而函數在 是增函數，    ∴不等式恒成立
即當時，不等式對于一切的恒成立
考點：本試題主要考查了數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．
點評：解題時要注意倒序相加法、錯位相減法的靈活運用．