Question

【題目】設函數和都是定義在集合上的函數，對于任意的，都有成立，稱函數與在上互為“互換函數”．

（1）函數與在上互為“互換函數”，求集合；

（2）若函數 （且）與在集合上互為“互換函數”，求證：；

（3）函數與在集合且上互為“互換函數”，當時,，且在上是偶函數,求函數在集合上的解析式．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3），

【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式進行化簡，求得或，進而求得集合.

（2）由，得（且），化簡后根據的取值范圍，求得的取值范圍.

（3）首先根據為偶函數，求得當時，的解析式，從而求得當時，的解析式.依題意“當，恒成立”，化簡得到，根據函數解析式的求法，求得時，以及，進而求得函數在集合上的解析式.

（1）由得

化簡得，，所以或．

由解得或，，

即或，．

又由解得 ，．

所以集合，或，

即集合．

（2）證明：由，得（且）．

變形得 ，所以．

因為，則 ，所以 ．

（3）因為函數在上是偶函數，則 ．當，則，所以．所以 ，

因此當時，．

由于與函數在集合上“互換函數”，

所以當，恒成立．

即對于任意的恒成立．

即．

于是有，

，．

上述等式相加得 ，即．

當（）時,，

所以 ．

而，，

所以當時，

，