Question

【題目】已知數列滿足： ， ．

（）求， ， 的值．

（）求證：數列是等比數列．

（）令，如果對任意，都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ， ；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）根據遞推關系求值即可．（2）由遞推關系可得，與原式相減可得，即，于是可得數列是以為首項，以為公比的等比數列．（3）由（）可得，故，作差判斷可得數列前三項遞增，從第四項開始遞減，于是可得數列的最大項為．由題意可得恒成立，于是，解不等式可得所求范圍．

試題解析：

（）由題意， ， ， ，

計算可得， ， ．

（）由題意可得， ，

，

兩式相減得，

即，

∴，

又，

∴數列是以為首項，以為公比的等比數列．

（）由（）可得，

∴，

∴，

由，得；

由可得，

∴，

∴數列有最大值，

∴對任意，有，

∵對任意的，有，即恒成立，

∴，整理得

解得或．

∴實數的取值范圍是．