Question

【題目】已知數(shù)列滿足,且.

（1）當(dāng)時(shí),寫出的通項(xiàng)公式（直接寫出答案,無(wú)需過(guò)程）;

（2）求最小整數(shù),使得當(dāng)時(shí), 是單調(diào)遞增數(shù)列;

（3）是否存在使得是等比數(shù)列？若存在請(qǐng)求出;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）寫出幾項(xiàng)，歸納即得，（2）先計(jì)算歸納可得當(dāng)時(shí), 是單調(diào)遞增數(shù)列.再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法給以證明，（3）根據(jù)計(jì)算可得時(shí), 不是等比數(shù)列.再證時(shí) , 也不是等比數(shù)列.

試題解析：（1）

（2）當(dāng)時(shí), ,,,不單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),由（1）知不單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí), ,,,不單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí), ,,,

當(dāng)時(shí), ,,,

由此猜測(cè)當(dāng)時(shí), 是單調(diào)遞增數(shù)列.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)更強(qiáng)得猜想:當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),猜想成立；

假設(shè)當(dāng)時(shí),猜想成立,即,

當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以,

即時(shí),猜想扔成立.

由,及數(shù)學(xué)歸納法知,當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)因?yàn)?/span>,所以,所以,

由此當(dāng)時(shí), 是單調(diào)遞增數(shù)列.

（3）由（2）知, 時(shí), 不是等比數(shù)列.

當(dāng)時(shí), ,因此,

可求出通項(xiàng)公式為,所以不存在使得是等比數(shù)列