Question

（本小題16分）設雙曲線：的焦點為F₁,F₂.離心率為2。
（1）求此雙曲線漸近線L₁,L₂的方程；
（2）若A,B分別為L₁,L₂上的動點，且2,求線段AB中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

Answer 1

（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a²=1,   ……2分
所以雙曲線的方程為，                    ……4分
所以漸近線L₁,L₂的方程為和＝0             ……6分
（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，
又2所以=10                        ……8分
設A在L₁上，B在L₂上，設A（x₁，，B(x₂，－      
所以即    ……10分
設AB的中點M的坐標為（x，y），則x＝，y＝
所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y 
所以整理得：                   ……14分
所以線段AB中點M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。    ……16分

解析試題分析：（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a²=1,   ……2分
所以雙曲線的方程為，                    ……4分
所以漸近線L₁,L₂的方程為和＝0             ……6分
（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，
又2所以=10                        ……8分
設A在L₁上，B在L₂上，設A（x₁，，B(x₂，－      
所以即    ……10分
設AB的中點M的坐標為（x，y），則x＝，y＝
所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y 
所以整理得：                   ……14分
所以線段AB中點M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。    ……16分
考點：本題主要考查雙曲線的標準方程及幾何性質，軌跡方程的求法。
點評：點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題利用相關點法求軌跡方程，相關點法 根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程．中檔題。