Question

（本題滿分13分）已知平面上的動點及兩定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是，，且·。（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知直線與曲線C交于M，N兩點，且直線BM，BN的斜率都存在并滿足·，求證：直線過原點。

Answer 1

(Ⅰ)（≠2）  (Ⅱ)  見解析

（1）由題意，·，（≠2），（2′）
即.所求P點軌跡C的方程為（≠2）（6′）
（2）設，，聯立方程得，.（8′）所以，
所以.（10′）
又·即·.所以.
代入得，（11′）
所以即或.（13′）
當時，直線恒過原點；當時直線恒過（2，0）但不符合題意。
所以，直線恒過原點。（14′）