Question

四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．

Answer 1

四邊形面積的最大值為，最小值為

由條件知和是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)，且，直線(xiàn)中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)的斜率為．又過(guò)點(diǎn)，故方程為．將此式代入橢圓方程得．
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
則，．
從而，
亦即．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的斜率為，同上可推得．
故四邊形面積．
令，得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124613928557.gif" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，，且是以為自變量的增函數(shù)，所以．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，為橢圓的長(zhǎng)軸，，，
．
綜合（Ⅰ），（Ⅱ）知，四邊形面積的最大值為，最小值為．