Question

數列{a_n}各項均為正數，其n項和為S_n，且滿足2a_nS_n-a

2 n

=1．
（1）求證：數列{

S

2 n

}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

2

4S 4 n -1

，求數列{b_n}的前n項和T_n，并求使T_n＞

1

6

(m2-3m)對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的通項公式,等差關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用2a_nS_n-a

2 n

=1，再寫一式，兩式相減，即可證明數列{

S

2 n

}為等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求和，T_n＞

1

6

(m2-3m)對所有的n∈N^*都成立，轉化為

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，即可求出使T_n＞

1

6

(m2-3m)對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

解答： （1）證明：∵2a_nS_n-a

2 n

=1，∴當n≥2時，2（S_n-S_n-1）S_n-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，

S

2 n

-

S

2 n-1

=1（n≥2），（2分）又

S

2 1

=1，（3分）
∴數列{

S

2 n

}為首項和公差都是1的等差數列．              （4分）
∴

S

2 n

=n，又S_n＞0，∴Sn=

n

                       （5分）
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，又a₁=S₁=1適合此式
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=

n

-

n-1

                 （7分）
（2）解：∵bn=

2

4S 4 n -1

=

1

2n-1

-

1

2n+1

     （8分）
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

 （10分）
∴T_n≥

2

3

，
依題意有

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整數m的值為3   （12分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列與不等式的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．