Question

【題目】已知函數

（1）若函數的圖像在處的切線垂直于直線，求實數的值及直線的方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）函數求導得，進而得切線方程；

（2）函數求導，討論， 兩種情況；

（3）令，由單調性，求最值即可證得.

試題解析：

（1） ，定義域為，

函數的圖像在處的切線的斜率

切線垂直于直線， ，

， ， 切點為

切線的方程為，即。

（2）由（1）知： ，

當時， ，此時的單調遞增區間是；

當時，

若，則；若，則

此時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是

綜上所述：

當時， 的單調遞增區間是；

當時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是 。

（3）由（2）知：當時， 在上單調遞減

時，

時， ，即。