Question

【題目】已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

(1)求證：圓C1和圓C2相交；

(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 4x＋3y－23＝0，公共弦長為

【解析】試題分析; （1）分別求出圓 和圓 的圓心和半徑，再求出圓心距 ，由圓心距大于半徑之差的絕對值，小于半徑之和，能證明圓 和圓相交．
（2）兩圓 和，兩圓方程相減，得圓 和圓的公共弦所在直線方程；求出圓心 到公共弦所在直線的距離，由此能求出圓和圓的公共弦長．

試題解析;　(1)證明：圓C1的圓心C1(1,3)，

半徑r1＝，圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r2＝4，

兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，

|r1－r2|＝4－，

∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圓C1和C2相交．

(2)圓C1和圓C2的方程左、右分別相減，

得4x＋3y－23＝0，

∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.

圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離

d＝＝3，

故公共弦長為2＝2.