Question

【題目】已知函數f（x）=+x在x=1處的切線方程為2x﹣y+b=0．

（Ⅰ）求實數a，b的值；

（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定義域上的增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a=1，b=﹣1;(2) k≤3.

【解析】試題分析：（1）由切線方程，布列方程組，解之即可；（2）g（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數，即g′（x）≥0在其定義域上恒成立，變量分離求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵f（x）=+x，

∴f′（x）=+1，

∵f（x）在x=1處的切線方程為2x﹣y+b=0，

∴+1=2， 2﹣1+b=0， ∴a=1，b=﹣1；

（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=x2﹣kx+lnx+x，

∴g′（x）=x﹣k++1，

∵g（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數，∴g′（x）≥0在其定義域上恒成立，

∴x﹣k++1≥0在其定義域上恒成立 ∴k≤x++1在其定義域上恒成立，

而x++1≥2+1=3，當且僅當x=1時“=”成立， ∴k≤3．