Question

【題目】設函數， ，且函數的圖象關于直線對稱。

(1)求函數在區間上最大值；

(2)設，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

(3)設有唯一零點，求實數的值。

Answer 1

【答案】(1) 10(2) (3)

【解析】試題分析：因為關于直線對稱，所以，分析函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以很容易求最值（2）可化為，

化為，令，則, 求最小值即得解(3) 由題意得： ，

所以

故，即為的對稱軸，因為有唯一的零點，所以的零點只能為，因為有唯一的零點，所以的零點只能為，即，解得，對進行檢驗，函數是上的增函數，

而，所以，函數只有唯一的零點，滿足條件.

試題解析：

(1)因為關于直線對稱，所以

故

所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

又，所以當時， 。

所以在區間上的最大值為10

(2) 可化為，

化為，令，則,

因故，記，因為，故，

所以的取值范圍是

(3)由題意得： ，

所以

故，即為的對稱軸，

因為有唯一的零點，所以的零點只能為，

即，解得。

當時， ，

令，則，

從而

，

即函數是上的增函數，

而，所以，函數只有唯一的零點，滿足條件。

故實數的值為。