Question

【題目】如圖，已知橢圓與橢圓的離心率相同．

（1）求的值；

（2）過橢圓的左頂點作直線，交橢圓于另一點，交橢圓于兩點（點在之間）．①求面積的最大值（為坐標原點）；②設的中點為，橢圓的右頂點為，直線與直線的交點為，試探究點是否在某一條定直線上運動，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②點在定直線上

【解析】

（1）利用兩個橢圓離心率相同可構造出方程，解方程求得結果；（2）①當與軸重合時，可知不符合題意，則可設直線的方程：且；設，，聯立直線與橢圓方程可求得，則可將所求面積表示為：，利用換元的方式將問題轉化為二次函數的最值的求解，從而求得所求的最大值；②利用中點坐標公式求得，則可得直線的方程；聯立直線與橢圓方程，從而可求解出點坐標，進而得到直線方程，與直線聯立解得坐標，從而可得定直線.

(1) 由橢圓方程知：，

離心率：

又橢圓中，，

，又，解得：

（2）①當直線與軸重合時，三點共線，不符合題意

故設直線的方程為：且

設，

由（1）知橢圓的方程為：

聯立方程消去得：

即：

解得：，，

又

令

，此時

面積的最大值為：

②由①知：

直線的斜率：

則直線的方程為：

聯立方程消去得：，解得：

則直線的方程為：

聯立直線和的方程，解得：

點在定直線上運動