Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經過點(﹣2,0)和,橢圓C上三點A,M,B與原點O構成一個平行四邊形AMBO.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點B是橢圓C左頂點,求點M的坐標；

（3）若A,M,B,O四點共圓,求直線AB的斜率.

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1；（2）M(－1,±)；（3）±

【解析】

(1)將點和代入橢圓＋＝1求解即可.

(2)根據平行四邊形AMBO可知AM∥BO,且AM＝BO＝2.再設點M(x0,y0),則A(x0＋2,y0),代入橢圓C求解即可.

(3) 因為A,M,B,O四點共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,再聯立直線與橢圓的方程,結合韋達定理代入·＝x1x2＋y1y2＝0求解即可.

（1）因為橢圓＋＝1(a＞b＞0)過點和,

所以a＝2,＋＝1,解得b2＝1,所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

（2）因為B為左頂點,所以B (－2,0).

因為四邊形AMBO為平行四邊形,所以AM∥BO,且AM＝BO＝2.

設點M(x0,y0),則A(x0＋2,y0).

因為點M,A在橢圓C上,所以解得所以M(－1,±).

（3）因為直線AB的斜率存在,所以設直線AB的方程為y＝kx＋m,A(x1,y1),B(x2,y2).

由消去y,得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,

則有x1＋x2＝,x1x2＝.

因為平行四邊形AMBO,所以＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2).

因為x1＋x2＝,所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·＋2m＝,所以M(,).

因為點M在橢圓C上,所以將點M的坐標代入橢圓C的方程,化得4m2＝4k2＋1.①

因為A,M,B,O四點共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OA⊥OB,

所以·＝x1x2＋y1y2＝0.

因為y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝,

所以x1x2＋y1y2＝＋＝0,化得5m2＝4k2＋4.②

由①②解得k2＝,m2＝3,此時△＞0,因此k＝±.

所以所求直線AB的斜率為±.