Question

【題目】已知函數，且x＝0是f（x）的極值點.

（1）求f（x）的最小值；

（2）是否存在實數b，使得關于x的不等式ex＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）1（2）存在；b的范圍為[1，+∞）

【解析】

（1）由已知結合極值存在條件可求m，然后結合導數單調性及最值的關系即可求解；

（2）由已知不等式代入整理可得，可考慮構造函數，結合導數與單調性的關系對b進行分類討論可求.

解：（1），

由x＝0是f（x）的極值點可得10，即m＝1，經檢驗m＝1符合題意，

，

設g（x）＝ex（x+1）﹣1，則g′（x）＝ex（x+2）＞0在x＞﹣1時恒成立，

故g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增且g（0）＝0，

所以，當x＞0時，g（x）＞0即f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

當﹣1＜x＜0時，g（x）＜0即f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

故當x＝0時，f（x）取得最小值f（0）＝1；

（2）由ex＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立可得，

設，則需要，

又，

（i）若b≥1，則x＞0時，0，h（x）單調遞減，

所以h（x）＜h（0）＝0，符合題意，

（ii）若b≤0，則x＞0時，0，h（x）單調遞增，h（x）＞h（0）＝0，不符合題意，

（iii）若0＜b＜1，令，得x，

當x時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，此時h（x）＞h（0）＝0，不滿足題意，

綜上，b的范圍[1，+∞）.