Question

已知O為坐標原點，點A的坐標是（2，3），點P（x，y）在不等式組

x+y≥3 2x+y≤6 x+2y≤6

所確定的區域內上運動，則

|OP|

•cos∠AOP的最小值是

6 13

13

．

Answer 1

分析：先畫出約束條件

x+y≥3 2x+y≤6 x+2y≤6

的可行域，再根據點A的坐標及點P的坐標，將

|OP|

•cos∠AOP的最小值表達為一個關于x，y的式子，即目標函數，然后將可行域中各角點坐標代入目標函數的解析式．

解答：解：∵

|OP|

•cos∠AOP=

OA • OP

| OA |

=

2x+3y

22+32

=

13

13

(2x+3y)，
于是問題轉化為求z=2x+3y的最小值，
作出

x+y≥3 2x+y≤6 x+2y≤6

的可行域如圖所示，當直線經過點B時，由

x+y=3 2x+y=6

，解得B（3，0）
z=2x+3y取得最小值，z_min=2×3-0=6，
從而

|OP|

•cos∠AOP的最小值為：

6 13

13

．
故答案為：

6 13

13

．

點評：本題考查簡單線性規劃的應用，平面區域的最值問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．