Question

設函數f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，0），求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得函數的圖象關于直線x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z對稱．再根據函數的圖象關于直線x=π對稱，且ω∈（

1

2

，1），可得ω的值，可得函數的最小正周期
（2）把點（

π

4

，0）代入函數的解析式求得λ=0，可得f（x）的解析式，從而求得函數f（x）的值域．

解答： 解：（1）令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z，故函數的圖象關于直線x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z對稱．
再根據函數的圖象關于直線x=π對稱，且ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
故函數的最小正周期為

2π

5 6

=

12π

5

．
（2）若y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，0），可得2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0，求得λ=-

2

，
∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，故函數f（x）的值域為[-2-

2

，2-

2

]．

點評：本題主要考查正弦函數的對稱性、周期性、值域，屬于基礎題．