Question

【題目】醫(yī)院為篩查某種疾病，需要血檢，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；

方式二：混合檢驗(yàn)，把每個(gè)人的血樣分成兩份，取個(gè)人的血樣各一份混在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果結(jié)果是陰性，那么對(duì)這個(gè)人只作一次檢驗(yàn)就夠了；如果結(jié)果是陽(yáng)性，那么再對(duì)這個(gè)人的另一份血樣逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.

（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)岀來的概率；

（2）假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

①運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

②若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②的最大值為12.

【解析】

（1）記恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件，計(jì)算概率得到答案.

（2）①計(jì)算，，根據(jù)，計(jì)算得到答案.

②，所以，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算得到最值.

（1）記恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件，

則.

（2）①的取值為，，所以，

的取值為1，，計(jì)算，，

所以，

由，得，所以.

②，，所以，即.

設(shè)，，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

且，，

所以的最大值為12.