Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí),若不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，不等式在時(shí)恒成立,等價(jià)于在(1，+∞)上恒成立，令，先證明當(dāng)時(shí)，不合題意，再分兩種情況討論即可篩選出符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）由題意，知,

∵當(dāng)a<0，x>0時(shí)，有.

∴x>1時(shí)，；當(dāng)0<x<1時(shí)，.

∴函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

（2）由題意，當(dāng)a=1時(shí)，不等式在x∈(1，+∞)時(shí)恒成立.

整理，得在(1，+∞)上恒成立.

令.

易知，當(dāng)b≤0時(shí)，，不合題意.

∴b>0

又，.

①當(dāng)b≥時(shí)，.又在[1，+∞)上單調(diào)遞減.

∴在[1，+∞)上恒成立，則h(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞減.

所以,符合題意；

②時(shí)，,,

又在[1，+∞)上單調(diào)遞減,

∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.

∴當(dāng)h(x)在(1，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，+∞)上單調(diào)遞減.

又h(x)在x=1處連續(xù)，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[，+∞ ).