Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓上一點，是和的等差中項．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若為橢圓的右頂點，直線與軸交于點，過點的另一直線與橢圓交于、兩點，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據是和的等差中項可得，再利用在橢圓上可解得，即可求解；

（Ⅱ）分直線斜率存在不存在兩種情況，直線斜率不存在時不合題意，當直線斜率存在時，設直線的方程為，聯立直線與橢圓的方程可得，，由可得，即可求出斜率，求出直線方程.

（Ⅰ）因為是和的等差中項，所以，得．

又在橢圓上，所以，所以，

，，

可得橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）計算可知

當直線與軸垂直時，不合題意．

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

聯立直線與橢圓的方程，可得，

由于在橢圓內，∴恒成立，

設，，由韋達定理可得 ①，

由，可得，又，

所以，得，

代入①，可得

所以，解得

所以直線的方程為