Question

等差數列{a_n}的公差d＜0，3a₈=5a₁₃，求使前n項和S_n取最大值時的正整數n的值．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：設等差數列{a_n}的公差為d，由已知可得d=-

2

39

a₁，數列單調遞減，由可得a_n=

41-2n

39

a₁，解不等式可得數列的前20項為正數，從第21項開始為負值，從而可得結論．

解答： 解：設等差數列{a_n}的公差為d，
由3a₈=5a₁₃，可得3（a₁+7d）=5（a₁+12d），
解得d=-

2

39

a₁，
∵d＜0，∴數列單調遞減，
又a_n=a₁+（n-1）d=

41-2n

39

a₁，
令

41-2n

39

≤0可得n≥

41

2

，
故數列的前20項為正數，從第21項開始為負值，
故使前n項和S_n取最大值時的正整數n的值為20．

點評：本題考查等差數列的通項公式，涉及前n項和的最值，從數列自身的單調性入手是解本題的關鍵，屬基礎題．