Question

【題目】的三個內角的對邊長分別為，是的外接圓半徑，則下列四個條件

（1）； （2）；

（3）； （4）.

有兩個結論：甲：是等邊三角形； 乙：是等腰直角三角形.

請你選出給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結論中的一個為結論，寫出一個你認為正確的命題__________．

Answer 1

【答案】甲或乙或乙

【解析】由(1)(2)為條件，甲為結論，得到的命題為真命題，理由如下：

證明：由(a+b+c)(a+bc)=3ab，變形得：a2+b2+2abc2=3ab,即a2+b2c2=ab，

則，又C為三角形的內角，∴C=60°，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0，

∵π<BC<π，∴BC=0，即B=C，則A=B=C=60°，∴△ABC是等邊三角形；

以(2)(4)作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：

證明：化簡得：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，

即sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0，∵π<BC<π，∴BC=0，即B=C，∴b=c，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：，

代入得：，

整理得：,即，∴，

∴a2=2b2,又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，則三角形為等腰直角三角形；

以(3)(4)作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：

證明：由正弦定理得：，

代入得：，

整理得：,即，,又，

又b=acosC，c=acosB，根據正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都為三角形的內角，∴2B=2C，即B=C，則三角形為等腰直角三角形。

故 甲或乙或乙