Question

【題目】已知點在圓：上運動，點在軸上的投影為，動點滿足．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的動直線與曲線交于、兩點，問：在軸上是否存在定點使得的值為定值？若存在，求出定點的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，使得的值為定值．

【解析】

（1）由，得，設，，，由向量等式可得，，代入圓：，可得動點的軌跡的方程為；

（2）設直線的方程為，設點、，并設點的坐標為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合向量數量積的坐標運算計算的值為定值，通過化簡計算得出的值，從而說明定點的存在性．

（1）由，得，

設，，，

則，

∴，，

代入圓：，可得，即．

∴動點的軌跡的方程為；

（2）設直線的方程為，設點、，

聯立，消去得，，

，，

假設在軸上存在定點使得的值為定值，

而，，

為定值，

則，解得，

且此時．

因此，在軸上存在定點，使得的值為定值．