Question

【題目】設a是實數，關于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4個互不相等的根，它們在復平面上對應的4個點共圓，則實數a的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】{a|－1<a<1}∪{－3}

【解析】

由z2－2z+5=0，得.

因為z2+2az+1=0有兩個不同的根，所以△=4(a2－1)≠0，故a≠±1.

若△=4(a2－1)<0，即－1<a<1時，.因為在復平面上對應的點構成等腰梯形或者矩形，此時四點共圓，所以，滿足條件.

若△=4(a2－1)>0，即|a|>1時，是實根，在復平面上對應的點在實軸上，僅當z1、z2對應的點在以對應的點為直徑的圓周上時，四點共圓，此圓方程為，

整理得，即x2+2ax+1+y2=0，將點(1，±2)代入得a=－3.

綜上所述，滿足條件的實數a的取值范圍是{a|－1<a<1}∪{－3}.

故答案為：{a|－1<a<1}∪{－3}.