Question

【題目】如圖，在正四棱柱中，，，點E在上，且.

（1）求異面直線與所成角的正切值：

（2）求證：平面DBE；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據可知即為所求異面直線所成角，根據直角三角形中的長度關系可求得結果；

（2）以為原點建立空間直角坐標系，根據數量積的坐標運算可證得，，由線面垂直判定定理可證得結論；

（3）由（2）知為平面的一個法向量，求得平面的法向量后，可根據向量夾角公式求得，由二面角的大小可確定最終的余弦值.

（1） 即為異面直線與所成角

在中，，

即異面直線與所成角的正切值為

（2）以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系

則，，，

，，，

， ，

又，平面 平面

（3）由（2）知：向量為平面的一個法向量

設平面的法向量

則，令，則，

二面角為銳二面角 二面角的余弦值為