【題目】已知橢圓
：
的焦距為
，點
在橢圓上.
（1）求橢圓方程；
（2）設直線
：
與橢圓交于
，
兩點，且直線
，
，
的斜率之和為0.
①求證：直線經過定點，并求出定點坐標；
②求
面積的最大值.
【答案】（1）
；（2）①證明見解析；②1
【解析】
(1)由條件有
，將點
代入橢圓方程結合
，可求解橢圓方程.
(2) ①設點
，
，設直線
，
，
的斜率分別為
，由條件有
，將直線方程與橢圓方程聯立，將
，
代入化簡可得
，得到直線過定點.
②由①利用弦長公式可求出
，再求出原點
到直線的距離，則
的面積可表示出來，從而可求其最大值.
解：（1）由題意可得，又由點在橢圓
上，故得
，
∵
，解得
，
.
∴橢圓的方程為；
（2）設點，.
聯立
得
，
∴
，
化簡得
①，
②，
③
設直線，，的斜率分別為
直線，，的斜率之和為0，∴
，
即
，
∴
，又
，∴.
綜上可得，直線
經過定點
.
②由①知
.
∴
，
原點到直線的距離
.
∴
，
∵
，
當且僅當
，即
取“
”.
∴
，即面積的最大值為1.
輕巧奪冠周測月考直通高考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“割圓術”是劉徽最突出的數學成就之一，他在《九章算術注》中提出割圓術，并作為計算圓的周長，面積已經圓周率的基礎，劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數值，這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確數據.如圖，當分割到圓內接正六邊形時，某同學利用計算機隨機模擬法向圓內隨機投擲點，計算得出該點落在正六邊形內的頻率為0.8269，那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為（參考數據：
）
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時。如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的
（細管長度忽略不計）．
（1）如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個沙時為多少秒（精確到1秒）？
（2）細沙全部漏入下部后，恰好堆成個一蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度（精確到0.1cm）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某集團公司為了加強企業管理，樹立企業形象，考慮在公司內部對遲到現象進行處罰.現在員工中隨機抽取200人進行調查，當不處罰時，有80人會遲到，處罰時，得到如下數據：
處罰金額 | 50 | 100 | 150 | 200 |
遲到的人數 | 50 | 40 | 20 | 0 |
若用表中數據所得頻率代替概率.
（Ⅰ）當處罰金定為100元時，員工遲到的概率會比不進行處罰時降低多少？
（Ⅱ）將選取的200人中會遲到的員工分為
，
兩類：類員工在罰金不超過100元時就會改正行為；類是其他員工.現對類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為類員工的概率是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖：四棱錐P-ABCD底面為一直角梯形，AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥平面ABCD,F是PC中點。
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD;
（Ⅱ）求證：BF∥平面PAD。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
：
過點
，
，
為橢圓的左、右焦點，離心率為
，圓
的直徑為
.
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）設直線
與圓相切于第一象限內的點
.
①若直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；
②若直線與橢圓交于
，
兩點，且
的面積為
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心為
，圓內一條過點
的動弦
（與
軸不重合），過點
作
的平行線交
于點
.
（1）求出點的軌跡方程；
（2）若過點的直線
交的軌跡方程于不同兩點
，
，
為坐標原點，且
，點
為橢圓上一點，求點到直線的距離的最大值.
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