Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足a1=1，anan+1=2Sn ， 設bn= ，若存在正整數p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差數列，則p+q= ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：數列{an}滿足a1=1，anan+1=2Sn ， ∴n=1時，a1a2=2S1=2a1 ， 解得a2=2．n≥2時，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=an（an+1﹣an﹣1），∵an≠0，∴an+1﹣an﹣1=2． ∴數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，∴an=1+n﹣1=n．
∴bn= = ．
∵存在正整數p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差數列，
∴2bp=b1+bq ， ∴ = （*）．
∵數列{bn}是單調遞減數列．
當p=1時，由 + ，解得q=1，舍去．
當2≤p＜q時， ， ﹣ = ．
當3≤p時， ≥ ， ＞0，∴ + ，（*）不成立．
∴p=2，可得： = + ，解得q=3．
∴p+q=5．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．