Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2CA，∠CAB=

π

2

，則直線AC₁與直線A₁B夾角的余弦值為（　　）

• A、

  5

  5

• B、

  2 5

  5

• C、

  10

  5

• D、

  15

  5

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：以A為原點，AB為x軸，AA₁為y軸，以AC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC₁與直線A₁B夾角的余弦值．

解答： 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2CA，∠CAB=

π

2

，
∴以A為原點，AB為x軸，AA₁為y軸，以AC為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AB=AA₁=2CA=2，
則A（0，0，0），C₁（0，2，1）
A₁（0，2，0），B（2，0，0），
∴

AC1

=（0，2，1），

A1B

=（2，-2，0），
cos＜

AC1

，

A1B

＞=

-4

5 •2 2

=-

10

5

．
∴直線AC₁與直線A₁B夾角的余弦值為

10

5

．
故選：C．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．