Question

已知f（x）=

x-a

2x2+b

為R上的奇函數（a，b是常數），且函數f（x）的圖象過點（1，

1

3

）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{a_n}：a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n），設b_n=

1

an2

-2，求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）設數列{

n

an2

}的前n項和S_n，若S_n+

1

2n-2

-m＞0對一切n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用f（0）=0，f（1）=

1

3

，建立方程組，求出a，b，即可求f（x）的表達式；
（2）由a_n+1²=2a_n•f（a_n）=2•

an2

2an2+1

，可得

1

an+12

-2=

1

2

（

1

an2

-2），即可證明數列{b_n}是等比數列；
（3）令C_n=S_n+

1

2n-2

，證明{C_n}為遞增數列，即可求m的取值范圍．

解答： （1）解：∵f（x）為R上的奇函數，
∴f（0）=0．
∵f（1）=

1

3

∴

- a b =0 1-a 2+b = 1 3

，∴a=0，b=1，
∴f（x）=

x

2x2+1

   …（3分）
（2）證明：∵a_n+1²=2a_n•f（a_n）=2•

an2

2an2+1

，
∴

1

an+12

-2=

1

2

（

1

an2

-2）
∵b_n=

1

an2

-2，
∴b_n+1=

1

2

b_n，
∴數列{b_n}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列．…（7分）
（3）解：∵b_n=

1

2n-2

=

1

an2

-2，
∴

1

an2

=

1

2n-2

+2，
∴

n

an2

=

n

2n-2

+2n…（8分）
∵S_n+

1

2n-2

-m＞0對一切n∈N^*恒成立，
∴m＜S_n+

1

2n-2

對一切n∈N^*恒成立．
令C_n=S_n+

1

2n-2

，則
∵C_n+1-C_n=S_n+1+

1

2n-1

-S_n-

1

2n-2

=

n

2n-1

+2n+2＞0，
∴{C_n}為遞增數列
∴（C_n）_min=C₁=6，
∴m＜6 …（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查了等比關系的確定，考查了數列的單調性，是中檔題．