Question

【題目】如圖1， 在直角梯形中， ， ， ， 為線段的中點. 將沿折起，使平面 平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證: 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）根據線面垂直的性質定理來證明線線垂直。

（2）

【解析】試題分析：解析：（1）在圖1中， 可得， 從而，

故.

取中點連結， 則， 又面 面，

面 面 ， 面， 從而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空間直角坐標系如圖所示，

則， ， ， ，

.

設為面的法向量，則即， 解得. 令， 可得.

又為面的一個法向量，∴.

∴二面角的余弦值為.

（法二）如圖，取的中點， 的中點，連結.

易知，又， ，又， .

又為的中位線，因， ， ，且都在面內，故，故即為二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知， .

在中.

故.

∴二面角的余弦值為.