Question

定義在（0，+∞）上的可導函數f（x）滿足：xf′（x）+f（x）＜0且f（1）=1，則不等式xf（x）＞1的解集為（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（0，1）
• C、（1，+∞）
• D、（0，1]

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=xf（x）求函數的導數，利用函數的單調性即可求不等式．

解答： 解：設g（x）=xf（x），
則g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，
即當x＞0時，函數g（x）=xf（x）單調遞減，
∵f（1）=1，
∴g（1）=1×f（1）=1，
則不等式xf（x）＞1等價為g（x）＞g（1），
即0＜x＜1，
則不等式xf（x）＞1的解集為（0，1）．
故選：B

點評：本題主要考查不等式的解法，利用條件構造函數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．