Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（b，2a-c），

n

=（cosC，-cosB），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）通過向量的數(shù)量積化簡表達式，利用正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)，求出角B的余弦值，即可得到B的大小；
（2）利用B的大小，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，利用兩角和的正弦函數(shù)化簡sinA+sinC為A的三角函數(shù)，然后求解它的取值范圍．

解答： （本小題滿分13分）
解：（1）由

m

⊥

n

，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB    
∴sin（B+C）=2sinAcosB．又B+C=π-A，∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
又B∈（0，π）∴B=

π

3

．
（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

，∴sinA+sinC=sinA+sin(

2π

3

-A)
=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
∴

3

2

＜sinA+sinC≤

3

．
故sinA+sinC的取值范圍是(

3

2

，

3

]．

點評：本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，考查計算能力．