Question

【題目】已知數列的奇數項是公差為的等差數列，偶數項是公差為的等差數列， 是數列的前項和，

（1）若，求；

（2）已知，且對任意的，有恒成立，求證：數列是等差數列；

（3）若，且存在正整數，使得，求當最大時，數列的通項公式.

Answer 1

【答案】(1)14；(2)證明見解析；(3)

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得公差，據此可得a10=14；

(2)結合(1)的結論證得d1=d2=2即可說明數列{an}是等差數列；

(3)分類討論n的奇偶性即可得到數列的通項公式為.

試題解析：

(1)根據題意,有a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16,a4=a5

∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1∴d1=2, d2=3.

∴a10=2+4d2=14

(2)證明：當n為偶數時,∵an<an+1恒成立,∴，

∴

∴且d2>1

當n為奇數時,∵an<an+1恒成立,∴，

∴(1n)(d1d2)+2>0

∴

∴d1=d2

∵S15=15a8,∴

∴d1=d2=2

∴an=n

∴數列{an}是等差數列；

(3)若d1=3d2(d1≠0),且存在正整數m、n(m≠n),使得am=an，在m，n中必然一個是奇數，一個是偶數

不妨設m為奇數，n為偶數

∵am=an,∴

∵d1=3d2,∴

∵m為奇數,n為偶數,∴3mn1的最小正值為2,此時d1=3,d2=1

∴數列的通項公式為.