Question

設數列滿足：，，．
（Ⅰ）求的通項公式及前項和；
（Ⅱ）已知是等差數列，為前項和，且，.求的通項公式，并證明：．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ），證明詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求的通項公式及前項和，由已知，，，數列是以為首項，為公比等比數列，由等比數列的通項公式及前項和公式可得；（Ⅱ）求的通項公式，由是等差數列，為前項和，且，，可設等差數列的公差為，根據已知條件，求出公差的值，從而得到；證明：，由，分母是等差數列連續兩項積，像這類數列，求其前項和，常常采用拆項相消法，即，從而解出．
試題解析：（Ⅰ）因為，又，所以，因此是首項為1，公比為3的等比數列，所以，；
（Ⅱ）設等差數列的公差為，依題意，，所以，即，故. 由此得，. 所以， .因此所證不等式成立.                        
考點：等比數列的定義及通項公式，等差數列的通項公式，拆項相消法求數列的前項和，考查學生的運算能力以及轉化與化歸的能力.